Флексагоны

[квит]

Забавное из жизни флексагонов.
Письма опубликованные в Scientific American.

Уважаемая редакция!
Меня прямо-таки потрясла статья "Флексагоны", опубликованная в декабрьском номере вашего журнала (за 1956 год). Провозившись каких-нибудь шесть или семь часов, я с помощью сотрудников нашей лаборатории в конце концов сумел правильно склеить гексагексафлексагон. С тех пор вся наша лаборатория не перестает удивляться.
Сейчас мы встали перед проблемой. Как-то утром один из наших сотрудников, занимаясь от нечего делать складыванием гексагексафлексагона, не заметил, как кончик его галстука попал внутрь этой игрушки. При каждом последующем перегибании галстук несчастного все больше и больше втягивался внутрь флексагона. После шестого перегибания исчез сам сотрудник.
Разумеется, мы тут же начали лихорадочно перегибать флексагон, но так и не обнаружили никаких следов нашего товарища, зато мы нашли шестнадцатую поверхность гексагексафлексагона.
Возникает вопрос: должна ли вдова исчезнувшего сотрудника получить компенсацию за все время его отсутствия или же мы можем с полным основанием сразу считать его умершим?
Ждем вашего совета.
НЕЙЛ АПТЕГРОУВ
Лаборатория Аллена В. Дюмона
Клифтон, штат Нью-Джерси

Сэр!
Письмо об исчезновении внутри гексагексафлексагона сотрудника Лабораторий Аллена В. Дюмона, напечатанное в мартовском выпуске вашего журнала, помогло нам решить одну загадку.
Однажды, занимаясь на досуге складыванием гексагексафлексагона самой последней модели, мы заметили, что из него торчит кусочек какой-то пестрой материи. При последующих перегибаниях флексагона из него показался незнакомец, жующий резинку.
К сожалению, он был очень слаб и из-за частичной потери памяти не мог объяснить нам, каким образом оказался внутри флексагона. Наша национальная диета из овсянки, хэггиса (Хэггис - шотландское национальное блюдо, приготовленное из овечьей или телячьей требухи, овсяной муки, лука и перца.) и виски поправило его здоровье. Он стал всеобщим любимцем и откликается на имя Экклз.
Нас интересует, нужно ли нам вернуть его и если да, то каким способом? К сожалению, Экклза бросает в дрожь при одном лишь виде гексагексафлексагона, и он решительно отказывается "складываться".
РОБЕРТ М. ХИЛЛ
Королевский колледж науки и техники
Глазго, Шотландия.

[квит]

Для тех, кто захочет сам изготовить флексагоны других типов, отличные от рассмотренных, приводится краткий обзор флексагонов низших порядков.

1. Унагексафлексагон. Полоску из трех треугольников разглаживают и концы ее соединяют так, чтобы получился лист Мёбиуса с треугольным краем. Поскольку лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников, его можно назвать унагексафлексагоном, хотя, разумеется, у него нет шести сторон и он не складывается.
2. Дуогесафлексагон представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.
3. Тригексафлексагон. Существует только одна разновидность этого флексагона, именно она и была уже описана.
4. Тетрагексафлексагон также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски, изображенной на рис. 7, а.
5. Пентагексафлексагон. Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рис. 7, б.
6. Гексагексафлексагон. Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из них обладает неповторимыми свойствами. Дано описание лишь одного типа. Два остальных можно сделать из полосок форма которых показана на рис. 7, в.
7. Гептагексафлексагон. Его складывают из трех полосок бумаги, изображенных на рис. 7, г. Первую полоску можно сложить двумя различными способами, поэтому общее число возможных форм гептагексафлексагонов равно 4. Третью форму этих флексагонов конструируют из полоски бумаги, имеющей вид восьмерки с перекрывающими частями. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами». Поверхности этой фигуры можно перенумеровать так, что на «пути Таккермана» они будут встречаться «по порядку номеров», как дома на улице.


Рис. 7.

Зигзагообразные полоски бумаги для складывания гексафлексагонов. Заштрихованные треугольники служат клапанами для склеивания.

Существует 12 различных типов октагексафлексагонов, 27 типов эннагексафлексагонов и 82 типа декагексафлексагонов. Точное число флексагонов каждого порядка определяется неоднозначно и зависит от того, что следует понимать под «различными» флексагонами. Например, все флексагоны имеют асимметричную структуру и делятся на правые и левые, но зеркально-симметричные формы флексагонов вряд ли следует считать самостоятельными. Более подробно о числе неэквивалентных флексагонов каждого порядка можно прочитать в статье Оукли и Визнера.(American Mathematical Monihli, 64, 1957, p. 143)

Порядки гексафлексагонов, которые можно сложить из прямых полосок, поделенных на равносторонние треугольники, всегда кратны трем. Особенно легко построить одну разновидность гексафлексагонов с двенадцатью поверхностями. Для этого берут прямую полоску бумаги вдвое длиннее той, из которой мы складывали гексагексафлексагон, и «скручивают» ее так, как показано на рис. 2, б. При этом длина полоски сократится вдвое и станет равной длине гексагексафлексагонной полоски. Затем скрученную полоску нужно сложить точно таким образом, как если бы вы складывали гексагексафлексагон. В результате получится додекагексафлексагон.
Экспериментируя с флексагонами высоких порядков, полезно иметь в виду удобное правило: число слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях всегда равно числу поверхностей данного флексагона. Интересно также отметить, что если каждую поверхность флексагона пометить каким-нибудь числом или символом и этот символ поставить на всех треугольниках, принадлежащих данной поверхности, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать трехкратной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, изображенного на рис. 2, цифры будут располагаться в такой последовательности:
123123 123123 123123
445566 445566 445566
Аналогичное разделение символов на три группы характерно для всех гексагексафлексагонов, но у флексагонов нечетного порядка символы в одной из трех групп расположены в обратном порядке по сравнению с двумя остальными группами.

[квит]

http://www.pandia.ru/96559/
Флексология


Проблемы флексологии (науки о построении и всяческих закономерностях флексатонов), конечно, не занимают в созвездии наук столь серьезного положения, как можно было бы подумать, основываясь лишь на одном только многозначительно научно звучащем названии этой дисциплины.

Тем не менее многие читатели отдают ей значительную долю своего свободного времени, предназначенного, как известно, в том числе и для самосовершенствования, самообразования и пр.



И это не случайно. Флексология — одна из немногих наук, которыми можно заниматься как в одиночку и делать открытия подобно Леонардо, так и коллективами, не скрываясь даже за псевдонимами подобно Н. Бурбаки. Плодотворным занятиям этой наукой не являются помехой ни молодость, ни преклонно-пенсионный возраст.

Название «флексагон», происходит от соединения английского слова с греческим: «флекс» — по-английски «гнуть», «сгибать», «складывать», «гониа» — по-гречески «угол»; значит, «флексагон» можно перевести как «гнущийся, гибкий (много)угольник». А что получится, если расшифровать слово «флексология»?. Не «наука о гнутье», не «гнущаяся» или «гибкая» наука, а «наука о флексагонах». Более раннее название этой науки «флексагония» признано неудачным из-за того, что некоторые стали понимать ее не как флексагония, что правильно, а как флексагония, что совершенно неправильно, потому что эта наука молодая и о какой-либо агонии говорить еще рано.

Для образования названий того или иного флексагона применяется заимствованная из органической химии международная система, в основу которой, как известно, положены принципы теории химического строения А. М. Бутлерова. Пользуясь этой системой, любой химик в два счета напишет не только формулу, но и нарисует структурную схему вещества с самым замысловатым названием, будь то 2, 5, 8, 11-Тетраокситридекан или 4, 5, 6, 7, 8, 9-Гексагидро-I Н-циклопентациклооктен.

Человек, незнакомый с флексологией, легко может спутать дотриаконтагекта-гексафлексагон с дотриа-контагектатетрафлексагоном, хотя это, как вы понимаете, совершенно различные вещи, и даже внешне они выглядят различно (см. рис.).




Между тем все очень легко для понимания. Впереди — числительное, показывающее, сколько плоскостей имеет данный флексагон. На втором месте — числительное, определяющее форму флексагона, и в заключение — известное уже слово, обозначающее, что все это гнется и складывается (иногда самым непостижимым образом, и тогда речь идет об аномальных флексатонах, которые заслуживают специальной главы).

Для справок приводим примеры приставок, образуемых из корней греческих числительных, применяемых (и некоторых латинских) для обозначений ациклических соединений по правилам номенклатуры органических соединений.

1/2—геми-

1—моно-

11/2—сескви-(лат.)

2—ди- или би-

3—три-

4—тетра-

5—пента-

6—гекса-

7—гепта-

8—окта-

9—эннеа- или нона- (лат.)

10—дека-

11—ундека- (гендека-)

12—додека-

13—тридека-

14—тетрадека-

15—пентадека-

16—гексадека-

17—гептадека-

18—октадека-

19—нонадека-

20—эйкоси- (эйкоса-)

21—генэйкоса-

22—докоса-

23—трикоса-

24—тетракоса-

25—пентакоса-

26—гексакоса-

27—гептакоса-

28—октакоса-

29—нонакоса-

30—триаконта-

31—гентриаконта-

40—тетраконта-

41—гентетраконта-

50—пентаконта-

60—гексаконта-

70—гептаконта-

80—октаконта-

90—эннеаконта-

100—гекта-

132—дотриаконтагекта-

24. Гексатетрафлексагон из крестообразной развертки. Этот флексагон отличается от всех предыдущих тем, что при его изготовлении вовсе не требуется клей. Делают его из оберточной неломкой бумаги. Сторону маленького квадрата удобно брать равной 3—5 сантиметрам. Развертка флексатона показана на рисунке 1. Нанесите цифры и метки (точки) в соответствии с рисунком. Слева — верхняя, справа — нижняя сторона развертки. В середине развертки сделайте крестообразную прорезь (по сплошной линии). Согните заготовку по линиям сгиба и вновь разогните, чтобы при складывании флексатона не возникало затруднений.



Рис.1

Как сложить флексагон? Подгибаем вниз единички (угол 1—2—3) так, чтобы получилась фигура, показанная на рис. 2. Далее продолжаем подгибать флексагон в том же направлении, выворачивая его так, чтобы четвертушки плоскостей, обозначенные одинаковыми цифрами, совместились: 5 с 5, 4 с 4, З с З и 6 с 6. Тогда на поверхности флексагона окажутся цифры 1 с одной стороны и 2 — с другой. Флексагон готов.



Рис.2

Возьмите его в руки так, чтобы сверху была плоскость 2 (рис. 3). Если вы теперь сложите флексагон домиком по вертикальной линии сгиба, а затем раскроете как книгу, то сверху окажется плоскость 3. Поверните флексагон на 90о, и он вновь может быть раскрыт. Появится плоскость 4, а после нее, если вновь раскрыть головоломку,— плоскость 1.



Рис.3

Таким образом, поворачивая всякий раз флексагон на 90° и раскрывая его, мы увидим последовательно его плоскости, помеченные цифрами 1, 2, 3, 4 и снова 1, 2 и т. д. с четырьмя точками в центре.

Где же плоскости 5 и 6? Они, конечно, где-то внутри. Как раскрыть флексагон, чтобы появилась «шестерка» или «пятерка»? Попробуйте найти их сами. Если не найдете, то поступите так.

Из позиции «2» (рис. 4) с точками в центре соорудите «домик», согнув по аа, но не раскрывайте его до плоскости «3», а найдите внутри цифру «4», сделайте как бы кубик без дна и сплющите по бб. Если флексагон теперь раскрыть, то появится плоскость «6» с точками в центре.



Рис.4

Таким же приемом можно перевести флексагон из позиции «3» в позицию «5» с точками в центре.

25. Пути перехода можно изобразить графически. Отыскание схемы путей перевода флексатона из одной позиции в другую — занятие трудное, но увлекательное: выявить закономерности флексатона, построенного из той или иной развертки, не так-то просто.

Прежде всего должна быть разработана четкая программа действий, отступать от которой нельзя ни на шаг.



Рис.5

Например, программа для выявления закономерностей гексатетрафлексагона, описанного выше, может быть такой:

а) Плоский перевод

1. Складывание «домиком» по вертикальной линии сгиба.

2. Раскрытие флексагона, как книжечки.

3. Поворот на 90° по часовой стрелке.

4. Повторение манипуляций 1—3 до завершения цикла.

б) Объемный перевод

1. Складывание «домиком» по вертикальной линии сгиба.

2. Объемный перевод по двум линиям сгиба («шарнирный параллелограмм»).

3. Раскрытие флексагона, как книжечки.

4. Поворот на 90° по часовой стрелке.

Далее идет повторение манипуляций 1—3 плоского перевода или 1—4 объемного перевода.

Составляя схему, не будем заглядывать вниз, будем смотреть только на ту плоскость, что вверху.

На схеме поэтому появляется условный значок двойного объемного перевода. Это значит, что после манипуляции «объемный перевод» флексагон раскрывается не как книжечка, а «домиком», а для того, чтобы он раскрылся, как условлено, книжечкой, его надо перевернуть на 180°.

По схеме можно легко отыскать любую плоскость флексагона, перевести его кратчайшим путем в любую из возможных позиций. Дополнительная маркировка точками позволяет заметить, что плоскости флексагона, помеченные одинаковыми цифрами, на самом деле различны: по 3 варианта с цифрами 1, 2, 3, 4 и по 2 с цифрами 5 и 6. А если бы вместо цифр на плоскостях флексагона был нарисован орнамент, то можно было бы насчитать 16 различных орнаментов.

26. Декатетрафлексагон. Этот флексагон можно раскрыть, как книжечку, по двум взаимоперпендикулярным линиям сгиба и переводить из одной плоскости в другую, как шарнирный параллелограмм.

Развертка похожа на предыдущую (рис. 6). Метод складывания — тоже.



Рис.6

Сначала подгибаем вниз углы, помеченные цифрами 1, 2, 3, получится «полуфабрикат» (рис. 7 слева). Перевернем заготовку на 180° (рис. 7 справа) и, подгибая вниз двойки, вывернем угол 2—3—4. Получится фигура, показанная на рис. 8. Совместив плоскости, помеченные одинаковыми цифрами, получим флексагон, поверхности которого будут помечены цифрами 2 и 3.



Рис.7

Сможете ли вы нарисовать полную схему перевода флексагона из одного положения в другое («диаграмму пути»), выявив все закономерности, и обнаружить все 10 его плоскостей?



Рис.8

27. Попытайтесь сложить декатетрафлексагон из развертки, показанной на рис. 9. Какова будет «диаграмма пути» этого флексагона?



Рис.9

[Aliskana]

А мне оригами вспомнилось... Есть что-то общее, ИМХО.

[квит]

наверное, что из бумаги и сгибаются?

[квит]

близкие родственники флексагонов - флексоры (изгибаемые многогранники)

смотрим, наслаждаемся

[JIuca]

Вместо флексагонов займитесь с вашим ребенком бодифлексом) Это мой выбор)

[квит]

а почему вместо то?

[Aliskana]

Мне понравилось, но в таком темпе я не успела понять, как делать.

А про оригами не только у меня ассоциация, оказывается.

Квит, а как тебе идея производство таких игрушек для детей наладить?

У меня уже разные дизайнерские идеи зашевелились.

[JIuca]

Сообщение от квит

а почему вместо то?

Пардон муа, мсье Квит)
Я хотела написать "вместо прений об инстинкте" по аналогии со стартовой фразой.