11.07.2006, 10:13 | #41 |
Старожил
Регистрация: 12.05.2006
Адрес: Г.Брянск
Сообщений: 8,853
|
Впрочем, с квадратом еще ничего. А вот доказать, что из всех замкнутых фигур, имеющих одинаковый периметр, наибольшей по площади будет круг - задачка гораздо веселее . Вот где приходится голову ломать.
Решать не предлагаю. Доказательство действительно сложное. Да и не помню я его целиком. А вот такую задачку предлагаю решить: записать в виде одной аналитической формулы функцию, график которой представляет собой гиперболу (1/x) но значение в нуле определено и равно 0. |
11.07.2006, 13:55 | #42 |
Старожил
Регистрация: 12.05.2006
Адрес: Г.Брянск
Сообщений: 8,853
|
Мне уже присылают решения поставленной задачи . В связи с этим, новая задача. Задача звучит так: записать в виде одной аналитической формулы функцию, график которой изображен на рисунке:
|
11.07.2006, 14:54 | #43 |
Шволочь. И провокатор.
Регистрация: 12.02.2006
Сообщений: 31,066
|
Губернатор, а теперь учти ВСЕ вероятности хотя б перечисленных тобой событий. ;P
__________________
... Survivors will be shot again. |
12.07.2006, 13:08 | #44 | |
Местный
Регистрация: 04.02.2006
Сообщений: 275
|
Цитата:
y=( sqrt(x*x)+x )/2 - ( sqrt( sqr(x-a) )+(x-a) )/2 a - точка по х, над которой расположен правый излом графика sqrt - корень квадратный sqr - квадрат |
|
12.07.2006, 13:27 | #45 |
Старожил
Регистрация: 12.05.2006
Адрес: Г.Брянск
Сообщений: 8,853
|
Исусик, все правильно, молодец .
sqrt(x*x) = |x| Кстати, есть такой преием: (f(x)+|f(x)|)/2 - график этой функции такой же как у f(x) за исключением точек ниже оси 0y. Все отрицательные значения обращаются в 0. |
12.07.2006, 14:19 | #46 | |
планеты Плюк
Регистрация: 04.02.2006
Сообщений: 2,596
|
Цитата:
__________________
Плесень размножается спорами. Не спорьте с плесенью! |
|
12.07.2006, 16:53 | #47 |
Старожил
Регистрация: 12.05.2006
Адрес: Г.Брянск
Сообщений: 8,853
|
Еще задачка: При помощи ножниц, циркуля и линейки разрезать произвольный треугольник на четыре равных прямоугольника. Не на бумаге, конечно, а теоретически .
Последний раз редактировалось Sergey; 12.07.2006 в 18:57. |
12.07.2006, 17:07 | #48 | |
планеты Плюк
Регистрация: 04.02.2006
Сообщений: 2,596
|
Цитата:
1. Докажем, что среди всех таких фигур наибольшую площадь имеет правильный n-угольник. 2. Докажем, что при одинаковом периметре правильный n+1 угольник имеет большую площадь, чем правильный n-угольник. 3. Из 1 и 2 будет следовать, что максимальную площадь имеет круг, как правильный бесконечноугольник. ========= 1. уже частично доказан для 4-х угольников в задаче о квадрате Для равностороннего треугольника и квадрата легко доказать 2. Как это сделать в общем случае надо подумать...
__________________
Плесень размножается спорами. Не спорьте с плесенью! |
|
12.07.2006, 18:38 | #49 |
Старожил
Регистрация: 12.05.2006
Адрес: Г.Брянск
Сообщений: 8,853
|
Губернатор, мысль понятна, но все же не уверен, что таким способом можно к чему-то прийти. Даже в задаче про квадрат- доказывается, что из всех прямоугольников наиболььшая площадь у квадрата. Там нету речи о других четырехугольниках. А ведь эти самые четырехугольники могут иметь бесконечное множество форм и комбинаций.
Поскольку в условии задаче говорится о кривой произвольной формы, то и доказательство необходимопроводить для четырехугольников произвольной модификации. Это заметно сложнее. Затем, если ты собираешься пользоваться индукцией, то нужны выбрать конкретный тезис. К примеру, ты хочешь доказать, что площадь круга с определенным периметром больше, чем у любого правильного многоугольника с тем же периодом. Для этого ты: 1. Доказываешь, что, к примеру, площадь квадрата с периметром P всегда больше, чем у правильньного треугольника с той же площадью. 2. Доказываешь, что если выполняется S(n)>S(n-1) то будет выполняться S(n+1)>S(n) 3. Обобщаешь индукцию. Все, после этого тебе останется лишь доказать, что бесконечномерный правильный многоугольник удовлетворяет определению окружности. Далее, тебе нужно провести через индукцию утверждение, что площадь любой фигуры, ограниченной n отрезками, сумма длин которых равна P, меньше чем площадь правильного n-угольника с периметром P. Нужно будет доказать 1. Доказать, что из всех треугольников (например) с равным перимтром наибольший по площади - правильный (это доказать относительно несложно). 2. Доказать, что если площадь любой фигуры, ограниченной n отрезками меньше, сумма длин которых равна P, меньше чем площадь правильного n-угольника с периметром P, то площадь любой фигуры, ограниченной n+1 отрезками меньше, сумма длин которых равна P, меньше чем площадь правильного n+1-угольника с периметром P Надо ли уточнять, что доказать такое почти нереально? Слишком много различных комбинаций. Неясно, как свести n+1 замкнутую ломаную к n-ломаной и как это отразится на площади. -------------- Доказательство, которое я видел, было несколько другого плана. Я помню лишь частично. Идея в том, что мы строим идеализацию - кривая одинаковой длинны, но наибольшая по площади. и исследуем свойства, которой должна обладать эта кривая. И оказыватся, что ничем другим кроме окружности эта кривая быть не может. Там целая серия утверждений о свойствах, которые нужно доказать. Я помню только самое первое. 1. Кривая должна быть выпуклой. Действительно, если наша кривая не выпуклая, то существуют точки A и B такие что область, ограниченная отрезком AB и поверхностью кривой не принадлежит кривой. Но тогда сделаем такую операцию: отразим часть кривой, ограниченной точками AB относительно отрезка AB. Получится новая кривая. Ее периметр не изменится, т.к. преобразование отражения сохраняет длину. При этом новая кривая полностью содержит в себе старую и еще кусочек. Получается, что новая кривая имеет тот же периметр, но большую площадь. Противоречие. Следовательно кривая должна быть выпуклой. (чтобы было понятнее - см рисунок). Ну и т.д. |
12.07.2006, 18:47 | #50 |
планеты Плюк
Регистрация: 04.02.2006
Сообщений: 2,596
|
Доказательство п.2.:
Разбиваем правильный n-угольник на n равнобедренных треугольников, имеющих общую вершину в центре n-угольника. Угол при этой вершине - 2pi/n Сторона n-угольника p/n (где p - периметр) Площадь каждого треугольника - p^2/(4*n^2*tg(pi/n)) Площадь n-угольника - p^2/(4*n*tg(pi/n)) Отношение площади n+1-угольника к площади n-угольника: n*tg(pi/n) ----------------- (n+1)*tg(pi/(n+1)) для n>2 это отношение всегда больше 1 (хотя и стремится к 1 с ростом n) Это можно доказать численно, построив график этой функции.
__________________
Плесень размножается спорами. Не спорьте с плесенью! |