Брахистохрона

[квит]

Сообщение от Технолог

Я веду практику и лабораторные работы по математике и механике. Учу решать задачи.

вариационное исчисление не ведешь? )))

нужно решение задачи о брахистохроне, но с доп. условием - в этом отличие от классики )))

[Технолог]

Сообщение от квит

вариационное исчисление не ведешь? )))

нужно решение задачи о брахистохроне, но с доп. условием - в этом отличие от классики )))

Математику сейчас не веду, но нестандартные задачи очень люблю. Если решение нужно - будем искать.

[квит]

Сообщение от Технолог

Математику сейчас не веду, но нестандартные задачи очень люблю. Если решение нужно - будем искать.

не могу сообразить, как правильно в вариационный функционал доп условие поставить.

постановка как в задаче о классической брахистохроне, даны две точки А и В, найти кривую наискорейшего спуска тела из точки А в точку В под действием силы тяжести.

Доп условие - в точке В касательная к кривой должна быть параллельна оси абсцисс.

[квит]

решение классической задачи
http://stu.scask.ru/book_iam.php?id=26

там начало координат в точке А, а параметр циклоиды определяется из условия прохождения ее через точку В

а надо начало координат в точке В, и плавность перехода через эту точку (т.е. кривая должна быть без излома)

[BOBA]

Квит, проектируешь идеальную детскую горку?

[квит]

Сообщение от BOBA

Квит, проектируешь идеальную детскую горку?

нет, гравитационный акселерометр )))

[BOBA]

Квази решение - брахистрону в точку незадолго до финала, а конечный кусок вывести сплайном.

[Samirat]

Класс! Я ничего не понимаю в этом, но логику сути вроде уловила.

Эд, рада твоему появлению.)
Наташа

[квит]

Сообщение от BOBA

Квази решение - брахистрону в точку незадолго до финала, а конечный кусок вывести сплайном.

я тоже думал - искать решение в классе степенных функций y=abs(x)^a

параметр а менять допустим от 1.5 до 10 с шагом 0.2

прогнать моделированием

[квит]

вот тут - о брахистохроне при наличии трения.
искомая кривая - уже не циклоида, через элементарные функции не выражается, находится численно
http://yandex.ru/clck/jsredir?bu=uni...07938705832736

[квит]

накидаю еще ссылок, если не понадобится, потом к себе утащу )))

http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL...n_r/3/01-7.htm

http://hijos.ru/2011/02/16/zadacha-o-braxistoxrone/

http://regio.hol.es/06_brahistohrona.html

http://mathemlib.ru/books/item/f00/s...40/st009.shtml

http://natalibrilenova.ru/blog/1432-...istohrone.html

https://wiki2.org/ru/%D0%91%D1%80%D0...BE%D0%BD%D0%B0

еще нарыл )))

http://mgopu-math.narod.ru/Pages/Brachistochrone.htm

http://statistica.ru/branches-maths/...zatsiya-obzor/

http://vikidalka.ru/1-197331.html

[Технолог]

Сообщение от квит

не могу сообразить, как правильно в вариационный функционал доп условие поставить.

постановка как в задаче о классической брахистохроне, даны две точки А и В, найти кривую наискорейшего спуска тела из точки А в точку В под действием силы тяжести.

Доп условие - в точке В касательная к кривой должна быть параллельна оси абсцисс.

А что, нельзя просто задать в качестве ограничения, что угловой коэффициент касательной в точке В равен нулю?

[квит]

Сообщение от Технолог

А что, нельзя просто задать в качестве ограничения, что угловой коэффициент касательной в точке В равен нулю?

наверняка можно, только мне не понятно как поменяется решение... забыл всё, давно с дифурами не возился, подумал вдруг у тебя поближе к этому преподавание было )))

[Технолог]

Сейчас помозгуем... Думаю, обойдется без моделирования и числовых способов, чистой математикой.

[квит]

еще рою, что есть...

вон, даже свежие диссеры по этой теме защищают, хотя казалось бы, задачу ставили аж в 17 веке )))

http://math.msu.su/~snark/files/diss/0138auto.pdf

еще до кучи )))

https://studfiles.net/preview/3545718/page:14/

http://www.astronet.ru/db/msg/1176656/text1.html

http://www.wreferat.baza-referat.ru/...BE%D0%BD%D0%B0

http://prosdo.ru/ouazob/%D0%97%D0%B0...%B5b/main.html

[квит]

вот так начнёшь копать материал, и чё тока не найдешь - а люди то тоже в этом направлении роют - статьи пишут, диссеры защищают... )))

вот еще относительно свежая статья (на стр. 238)
http://vm.ulstu.ru/documents/pmm2009.pdf

еще одна
https://mipt.ru/upload/medialibrary/...atov_66_75.pdf

[Технолог]

Сообщение от квит

там начало координат в точке А, а параметр циклоиды определяется из условия прохождения ее через точку В

а надо начало координат в точке В, и плавность перехода через эту точку (т.е. кривая должна быть без излома)

Насколько я понял, начало координат тоже в точке А, а параметр циклоиды определяется из условия максимума горизонтальной проекции скорости в конечной точке.

[квит]

Сообщение от Технолог

Насколько я понял, начало координат тоже в точке А, а параметр циклоиды определяется из условия максимума горизонтальной проекции скорости в конечной точке.

ну по большому счёту не важно, где начало координат, в А или В (потом если что всегда можно перенести начало координат параллельным переносом). в точке В удобнее из условия симметричности (шарик будет кататься вправо-влево)

а вот будет ли это циклоида, я не совсем уверен

допустим параметр циклоиды равен 1, тогда по у диапазон изменения от 0 до 2, а по х от 0 до 2*Pi.

а мне допустим надо чтобы проходила через точки А(-1,1) и В(0,0).

масштабирование только по одной координате не гарантирует брахистохронность кривой, вот в чем проблема

[Технолог]

Сообщение от квит

допустим параметр циклоиды равен 1, тогда по у диапазон изменения от 0 до 2, а по х от 0 до 2*Pi.

а мне допустим надо чтобы проходила через точки А(-1,1) и В(0,0).

Если заданы начальная и конечная точка - брахистохроной будет циклоида, проходящая через эти точки. Параметры циклоиды определяются исходя из заданных координат. Каким будет угловой коэффициент касательной в точке В - тоже зависит от координат, в общем случае он не равен нулю.

Классический случай - если для точки В задана только абсцисса - как раз позволяет найти циклоиду, которая пересекает заданную вертикаль в точке, где вектор скорости направлен горизонтально.

Если же одновременно задать и координаты двух точек, и условие горизонтального вектора скорости, то невозможно найти единственное решение задачи - таких кривых будет много, и все они будут уступать брахистохроне во времени спуска.

Таким образом, задача не имеет решения, если только точка В не совпадёт с точкой минимума циклоиды.

По-моему, так.

[квит]

Сообщение от Технолог

Если заданы начальная и конечная точка - брахистохроной будет циклоида, проходящая через эти точки. Параметры циклоиды определяются исходя из заданных координат. Каким будет угловой коэффициент касательной в точке В - тоже зависит от координат, в общем случае он не равен нулю.

согласен

Классический случай - если для точки В задана только абсцисса - как раз позволяет найти циклоиду, которая пересекает заданную вертикаль в точке, где вектор скорости направлен горизонтально.

согласен

Если же одновременно задать и координаты двух точек, и условие горизонтального вектора скорости, то невозможно найти единственное решение задачи - таких кривых будет много, и все они будут уступать брахистохроне во времени спуска.

вот тут как раз вопрос - если их множество, как их описать?

например, как я уже писал, кривая должна проходить через точки (-1,1) и (0,0) и иметь горизонтальную касательную

какие, например, две кривые имеют минимальное время спуска? )))

[квит]

Сообщение от Технолог

Таким образом, задача не имеет решения, если только точка В не совпадёт с точкой минимума циклоиды.

а вот тут не согласен... так не имеет решения или наоборот, имеет множество решений? )))

[Технолог]

Сообщение от квит

а вот тут не согласен... так не имеет решения или наоборот, имеет множество решений? )))

Не имеет единственного оптимального решения, зато имеет множество неоптимальных, отличающихся друг от друга на бесконечно малые величины.

Я предлагаю не мудрствовать лукаво, а найти параболу с вершиной в точке В, проходящую через точку А. И будет всё в порядке с горизонтальностью .

[квит]

Сообщение от Технолог

Не имеет единственного оптимального решения, зато имеет множество неоптимальных, отличающихся друг от друга на бесконечно малые величины.

Я предлагаю не мудрствовать лукаво, а найти параболу с вершиной в точке В, проходящую через точку А. И будет всё в порядке с горизонтальностью .

ну тогда вернулись с чего я и начинал )))

точнее, не параболу, а степенную функцию... а показатель степени определить из оптимума...

[BOBA]

А сплайн из куска настоящей брахистроны и куска параболы?

[квит]

Сообщение от BOBA

А сплайн из куска настоящей брахистроны и куска параболы?

надо пробовать...

три параметра неизвестных - точка сопряжения, показатель степени и масштабирующий множитель...

три нелинейных уравнения - равенство самих функций в точке склейки, первой и второй производной...

может и сработает... )))