Флексагоны

[квит]

К теме об отцовском инстинкте - чем тратить попусту время на споры, сложите с вашим ребенком пару флексагонов

[квит]

три-гексафлексагон



гекса-гексафлексагон

[квит]

гекса-окта-флексагон

[квит]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%...B3%D0%BE%D0%BD

Флексагоны (от англ. to flex, лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться) — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство—различие в формате английских и американских блокнотов, — флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексологии» был организован «Флексагонный комитет». Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Брайант Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.

Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, то есть число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура оказалась тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями – гексагексафлексагоном. К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учёными[1].

[квит]

В стране, где человеческий рост измеряют в футах, расстояние до соседнего города считают в милях, а топливо в бак льют галлонами, чиновники выписывают справки на бумаге формата Letter. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница, возможно, мы бы до сих пор не знали о флексагонах – увлекательной игрушке, головоломке и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века

http://www.popmech.ru/article/5671-shutka-geniev/




↓↓ шутка гениев

1) Чтобы раскрыть флексагон, сожмите два соседних треугольника, прижмите к ним противоположный край и раскройте фигуру из центра 2) Чтобы пройти по «пути Таккермана», раскрывайте фигуру, держась за один угол, пока она будет раскрываться. Затем последовательно переходите к следующему углу

Тритетрафлексагон
Самый первый флексагон с тремя поверхностями, изобретенный Артуром Стоуном, складывается из прямой полоски бумаги, поделенной на десять равносторонних треугольников (один служит для склейки)

Рецепт тетрафлексагона
Темный цвет обозначает лицевую сторону выкройки, светлый - обратную. Крайние квадраты склеиваются полоской скотча

Флексокалейдоскоп
Треугольники в сторонах гексагексафлексагона могут поворачиваться к центру любым из трех углов. В сумме это дает 18 вариантов картинки

Гексагексатрансформер
Предлагаем вам вырезать классическую прямую заготовку и сложить из нее гексагексафлексагон. Каждая его поверхность содержит изображение робота-трансформера. Роботы различаются между собой цветом и выражением лица. Некоторые из них будут попадаться вам часто, отыскать других будет намного сложнее. Чтобы повстречаться со всеми роботами, следуйте по «пути Таккермана» Собрать гексагексафлексагон очень просто. Сначала следует ориентироваться на совпадение пар с общими цветами. Затем нужно складывать шестиугольник так, чтобы на поверхности сложился рисунок одного цвета. Помните, что флексагоны очень требовательны к качеству сборки. Чем точнее вы вырежете и сложите головоломку, тем лучше она будет работать

В статье использованы материалы книги Мартина Гарднера «Математические головоломки и развлечения». – М: Мир, 1971

В конце 1930-х годов англичанин Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, только начинал свою блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди прочих американских «странностей», к которым ему еще предстояло привыкнуть, был и необычный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая листы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков разные фигуры. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник – оставалось только обрезать концы по форме последней грани. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. После каждого очередного раскрытия на свет появлялась новая поверхность, состоящая из шести треугольников, а предыдущие шесть треугольников скрывались внутри конструкции. Можно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов.

Стоуну сразу же пришла в голову мысль, что можно сложить и более сложный шестиугольник, внутри которого прячется большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с этой идеей и убедился в правильности своей догадки, построив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за загадочным шестиугольником скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому некоторые источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать.

Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского flex – сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, то есть число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура оказалась тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями – гексагексафлексагоном. Стоун, Таккерман, Фейнман и Тьюки в шутку окрестили себя «Флексагонным комитетом» и всерьез взялись за изучение математических основ «флексологии». К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учеными.

Строптивый калейдоскоп

Классический гексагексафлексагон можно сложить из прямой полоски бумаги. Полосу следует разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники можно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном на рисунке. Пустой треугольник на каждой стороне служит для склейки. Полоска складывается таким образом, чтобы треугольники с одинаковыми цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга. Получившуюся короткую полоску перегибают в трех местах так, чтобы получился шестиугольник (точно так же складывают из ленты простейший тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к пустому треугольнику. Флексагон готов.

Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольников. Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть противоположную пару треугольников. Флексагон явит миру свою новую поверхность и спрячет предыдущую. Играя с фигурой, вы вскоре обнаружите, что некоторые поверхности гораздо труднее вызволить на свободу, нежели остальные. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь лишь на знакомую пару «лиц» флексагона. Брайант Таккерман вывел простейший способ нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило позволяет увидеть все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку.

Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на треугольники более замысловатую раскраску, можно увидеть, что каждый из них может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим, как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.

На самом деле для гексагексафлексагона, собранного из прямой полосы бумаги (возможны и другие конструкции), число вариаций окажется несколько меньше. Складывая флексагон, вы можете заметить, что четыре из его поверхностей состоят из шести треугольников, а еще две – из трех параллелограммов. Эти последние поверхности не могут меняться и всегда выглядят одинаково, что в итоге дает нам всего 15 комбинаций для гексагексафлексагона. Данное свойство многократно использовали шутники-математики для своих головоломок с картинками. Скажем, после определенных стараний игрок мог собрать четыре картинки, развернув составляющие их треугольники в определенную сторону, а еще одна картинка, самая желанная (к примеру, фотография очаровательной девушки в бикини), никак не собиралась воедино, хотя все ее соблазнительные компоненты были отчетливо видны.

Есть у гексафлексагона и еще один секрет: три из шести его поверхностей могут образовывать зеркально симметричные пары. К примеру, если угол А одного из треугольников такой поверхности находится в центре, то угол B может оказаться как справа, так и слева от него. Таким образом мы получаем еще три дополнительные комбинации и общее число рисунков поверхности гексагексафлексагона все же достигает 18.

Флексоконструктор

«Флексагонный комитет» очень быстро обнаружил способ делать из прямых или зигзагообразных полос бумаги флексагоны с любым количеством поверхностей. Таккерман сконструировал тетрагексафлексагон и пентагексафлексагон, а также ухитрился соорудить действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Большинство флексагонов можно сложить разными способами из заготовок разной формы. К примеру, гексагексафлексагон можно сделать из прямой полоски бумаги, ленты, предварительно склеенной в форме шестиугольника, и причудливой ленты в форме восьмерки. С ростом порядка флексагона радикально увеличивается и количество способов, которыми его можно собрать. К примеру, для декафлексагона их число равняется 82. Теория Фейнмана и Тьюки позволяет сконструировать флексагон любого заданного порядка всеми возможными способами. Известно, что все флексагоны четного порядка делаются из двусторонних полос, а нечетные имеют лишь одну поверхность, подобно ленте Мёбиуса.

Не вдаваясь в теоретические подробности, приведем алгоритм конструирования флексагона с заданным числом поверхностей. Для составления карты флексагона нам понадобятся базовые конструктивные элементы – большие равносторонние треугольники со вписанными в них малыми равносторонними треугольниками (см. схему). Количество необходимых базовых элементов равняется порядку флексагона минус два. К примеру, для конструирования гексагексафлексагона нам понадобятся четыре элемента.

Расположим базовые элементы любым способом так, чтобы их грани совпали, а вершины внутренних треугольников соединились. Различное расположение элементов даст нам разные варианты конструкции флексагона, но все они будут рабочими. Получившаяся фигура называется сетью Тьюки. У нее шесть граней, на каждой из них имеется «средняя точка». Обозначим одну из серединных точек цифрой 1 и пронумеруем все серединные точки по часовой стрелке. Теперь, если следовать от единицы по маршруту, проложенному сторонами внутренних треугольников, мы получим «код флексагона»: 1, 2, 6, 4, 3, 5.

Нарисуем таблицу из трех строк и восьми столбцов (восемь – порядок флексагона плюс два). Внесем в нее получившийся код, проставляя цифры по очереди в верхнюю или среднюю строку, в шахматном порядке. Под (или над) каждой цифрой проставьте число, большее на единицу. Если исходная цифра равна 6, ставьте 1. Получившаяся таблица представляет собой не что иное, как разметку треугольников будущей бумажной полоски. Первая строка содержит разметку лицевой стороны, вторая строка – обратной. Последовательность из шести пар цифр должна повториться три раза – для всех 18 треугольников гексафлексагона. Вспомогательные столбцы (7 и 8) показывают, как будет повторяться последовательность цифр: для флексагона нечетного порядка стороны поменяются местами.

Выберем одну из граней сети Тьюки и обозначим ее как «правая». Точно так же пометим все параллельные ей грани (в нашем случае такая всего одна). Остальные грани обозначим как «левые». Заполним получившимися значениями третью строку в таблице. Теперь мы готовы размечать бумажную полосу для постройки флексогона. Начнем с первого треугольника, вершина которого укажет нам путь «прямо». Руководствуясь картой, следующий треугольник мы будем пристраивать к его правой или левой стороне. Пройдя весь путь до конца, мы получим полосу в форме шестиугольника – одну из вышеупомянутых допустимых заготовок для гексагексафлексагона. Остается обозначить все треугольники цифрами с двух сторон, опять же в соответствии с таблицей. Складывая флексагон, начните с совмещения одинаковых цифр, стоящих рядом на обратной стороне заготовки. Следуйте этому принципу, пока не получите готовый гексагексафлексагон.

След в истории

7 декабря 1941 года японцы ворвались в Перл-Харбор, и война разбросала участников «Флексагонного комитета» по свету. Впоследствии Артур Стоун приобрел всемирную известность как специалист в области топологии и автор теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике. Он изобрел несколько основополагающих методов современной статистики. Брайант Таккерман оставил значительный след в информатике как один из соавторов симметричного алгоритма защиты информации, в котором один ключ используется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не нуждается в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии в области физики. Долгие годы эти блестящие ученые хотели вновь собраться вместе, чтобы написать пару статей и покончить со всеми тайнами теории флексагонов. К сожалению, или, напротив, к счастью, этому плану не суждено было сбыться.

Видео к статье: ссылка

Август 2009
Автор: Сергей Апресов




Конструируем флексагон

Конструктивный вопрос

Флексагон - довольно сложная конструкция, и чем больше поверхностей он содержит, тем сложнее собрать его так, чтобы он действительно работал. Точная разметка и соответствующие ей сгибы - необходимые условия для постройки действующей модели. Перед сборкой стоит перегнуть заготовку в обе стороны по всем линиям сгиба, чтобы готовым флексагоном было удобно пользоваться. Идеальный материал для флексагоностроительства - бумажная лента для кассовых аппаратов: ее легко разметить на равносторонние треугольники циркулем. Отец Брайанта Таккермана, известный физик Луи Таккерман, использовал для разметки ленты треугольную металлическую пластину: чтобы получить заготовку, он просто оборачивал ленту вокруг пластины нужное количество раз. Такое приспособление позволяло Таккерману-старшему быстро собирать самые разные модели и в результате внести немалый вклад в теорию флексагонов. Некоторые любители собирают флексагоны не из бумаги, а из плотного картона или даже металла, соединяя треугольники настоящими петлями.



Тетрафлексагон

Стоуну и компании удалось создать полную и всеобъемлющую теорию гекса---флексагонов. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства - тритетрафлексагон - можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» - и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия - петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом.

Какие люди!!!

Стоуну сразу же пришла в голову мысль, что можно сложить и более сложный шестиугольник, внутри которого прячется большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с этой идеей и убедился в правильности своей догадки, построив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за загадочным шестиугольником скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому некоторые источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать.

...

След в истории

7 декабря 1941 года японцы ворвались в Перл-Харбор, и война разбросала участников «Флексагонного комитета» по свету. Впоследствии Артур Стоун приобрел всемирную известность как специалист в области топологии и автор теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике. Он изобрел несколько основополагающих методов современной статистики. Брайант Таккерман оставил значительный след в информатике как один из соавторов симметричного алгоритма защиты информации, в котором один ключ используется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не нуждается в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии в области физики. Долгие годы эти блестящие ученые хотели вновь собраться вместе, чтобы написать пару статей и покончить со всеми тайнами теории флексагонов. К сожалению, или, напротив, к счастью, этому плану не суждено было сбыться.

[квит]

В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов. Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется три-тетрафлексагоном. Более интересен гекса-тетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Для его построения нужно взять полоску бумаги, вырезанную в виде квадратной рамки, разграфить на квадраты и пронумеровать так, как показано на рисунке. После этого полоску бумаги надо перегнуть вдоль всех прямых, которые отделяют друг от друга соседние квадраты. Сгибы должны быть обращены острием вниз:

Наметив все линии сгиба, полоску нужно разгладить и вновь перегнуть вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (а). Перевернем полоску и перегнем вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (в). Заправим квадрат с цифрой 3 под квадрат с цифрой 2. В результате все четыре верхних квадрата окажутся помеченными цифрами 2. К левому верхнему квадрату с цифрой 2 приклеим прозрачную ленту, а другой конец ленты приклеим к квадрату с цифрой 1, который находится с обратной стороны флексагона.

[квит]

http://www.mathematische-basteleien....xagons.htm#top

тетра-гексафлексагон


The Tetrahexaflexagon
The tetrahexaflexagon has four faces and is a bit more complicated than the trihexaflexagon.

Make a strip from triangles as the picture shows. Number the triangles on the front and on the reverse side as shown. First put triangles 4 to 4 together. Then you have the strip of a trihexaflexagon. Fold it in the same way as before. Glue the two triangles with a cross after folding.
If you flex the flexagon in the way of the swing, you get the faces 1/3/2/1/3/2/1...
(You may have to turn the flexagon).
If you want to find face number 4, you have to keep opening it on the left and on the right side as long as you can. E.g. you get the sequence 1/34/1/32/1/34/1/32/... The numbers 1/34/1/32/ come back regularly. In 1/34/1/32/ there are the numbers 1 and 3 twice, 2 and 4 once.


гепта-гексафлексагон




Heptahexaflexagon

1367/3/61/324/3 :||

If you pile the number 7 triangles, you get the shape of the Hexahexaflexagon with the same numbers. Go on like above.

[Фамарь]

В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов.

С одним из представителей которых меня и познакомили мои племянники, активно гостившие нынешним летом у нас. И даже пытались меня научить всё это клеить-монтировать. И получается у них довольно ловко и как-то без усилий. Я же не сопротивлялась, но и не научилась( безответственно отнеслась))). Но очень рада была тому, что мальчишки нашли себе занятие и не приставали ко мне и не клянчили и не торчали только у компа. Ну это, конечно, кроме того, что основную массу времени проводили естессено на вольном воздухе.
офф:
Я же внесла посильный вклад в организацию их культурного досуга лишь тем, что мы вместе придумывали сценарий мини-спектаклей-пародий друг на друга, сами ставили, сами смотрели и сами хохотали. Правда было три зрителя- муж, кошка и собака. Аплодисментов не сорвали(((.

Квит, можешь офф убрать)

[квит]

еще про тетрафлексагоны

http://igrushka.kz/news/2011/04/01/tetrafleksagony/

Простейший тетрафлексагон легко сложить из полоски бумаги, составленной из 6 квадратов (рис. 1). Пронумеруйте квадраты, как показано на рисунке 1а. С обратной стороны полоски проставьте нумерацию по рисунку 16. Причем проследите, чтобы с обеих сторон полоски цифры были ориентированы одинаково, но «вверх ногами». Теперь согните полоску к себе вдоль пунктирной линии, разделяющей две тройки (см. рис. 16), и отогните левый нижний квадратик с двойкой назад. Переверните полученную фигуру обратной стороной (рис. 1 г) и склейте ее правые квадратики — верхний и нижний — полоской бумаги или клейкой лентой (рис. 1д).



На одной поверхности сгруппировались все квадраты с двойками, на другой с единицами. Но у этой плоской фигуры есть еще одна поверхность. Не верите? Сложите ее вдоль вертикали так, чтобы двойки были снаружи (рис. 1 с), А разложите ее вновь, открывая «книжечку» слева направо (рис. 1 ж). Перед вами появится поверхность, помеченная тройками.

В технике такая давно известная конструкция называется шарнирным соединением двойного действия. Еще в прошлом столетии были распространены детские игрушки, сувениры, рамки для фотографий, бумажники, в которых использовались подобные шарнирные соединения. Описание такой игрушки прислал в редакцию москвич Сережа Борисов (рис. 2). Несколько одинаковых дощечек (на нашем рисунке показаны три, но их гложет быть шесть-семь и больше) переплетены и соединены тремя плоскими шнурами. Переверните верхнюю дощечку свисающей вниз цепочки — и все дощечки придут в движение, переворачиваясь одна за другой. Если делать это быстро, то возникает полная иллюзия, что верхняя дощечка «спрыгивает» вниз цепочки. Эта старинная игрушка — ближайший родственник тетрафлексагона, придуманного позднее математиками, чтобы наглядно изучать свойства сложных поверхностей.



На рисунке 3 показано изготовление тетрафлексагона посложнее. Разграфите лист бумаги на 12 квадратов и пронумеруйте их с двух сторон, как показано на рисунках За, б. Сплошной линией помазаны линии разрезов. Вырезанный «язычок» из двух центральных квадратов 2 и 1 отогните назад (рис. Зв). Назад отогните и правый столбец с цифрами 3, 1, 3 (рис. Зг). Теперь новый правый столбец с тремя двойками тоже подогните назад (рис. Зд), а левый висящий квадрат с тройкой загните к себе (рис. Зе). В результате сверху должны оказаться все квадраты с цифрой 1.

Склейте полоской бумаги два средних квадрата. Перегибая этот тетрафлексагон вдоль вертикальной линии, вы обнаружите четыре разные его поверхности. Сложнее всего найти поверхность, пронумерованную четверками. Если вы наклеите на поля с четверками разрезанную на квадратики картинку, то превратите свой тетрафлексагон в увлекательную головоломку, цель которой — отыскать эту картинку. Головоломка будет долговечнее, если вырезать заготовку из тонкой ткани и наклеить на нее цветные кусочки картона (каждый цвет соответствует какой-либо цифре) или разделенные на квадратики картинки.
Н. ПАВЛОВА. Прил. Журнала Юный техник №2-86г.

[квит]

http://www.arbuz.uz/z_flex.html


Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность гексагексафлексагона может появляться по крайней мере в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие ее треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рис. 5, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А (именно этот случай и показан на рис. 5), и области В, и области С. На рис. 6 изображен геометрический узор, который, будучи нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид.



Рис. 5.



Вращая треугольники, из которых составлен правильный шестиугольник, мы получаем 18 различных разновидностей шестиугольников. Если гексагексафлексагон сделан из прямой полоски бумаги, то три из этих 18 шестиугольников никогда не встретятся нам, как бы мы ни складывали наш флексагон. Поэтому, можно наклеить на каждый разворот гексагексафлексагона части трех различных картинок. Перегибая определенным образом флексагон, мы будем видеть по очереди в центре открывшейся поверхности одну из картинок, а на периферии - фрагменты двух других изображений. К трем «скрытым» шестиугольникам, которые никогда полностью не появляются на видимой стороне флексагона, можно приклеить разрезанные на части портреты трех очаровательных девушек, которые нельзя рассмотреть во всех подробностях, несмотря на все свои старания. Другой способ добиться аналогичного результата, нужно склеить два смежных треугольника. Из-за этого исчезает целый шестиугольник, и можно тщетно пытаться найти недостающий разворот флексагона. Неудача будет казаться тем более непонятной, что, заглянув внутрь флексагона, можно собственными глазами увидеть части таинственно исчезнувшей поверхности!


Рис. 6.

Утверждение о том, что шестиугольники, возникающие при развороте гексагексафлексагонов, могут быть только 15 различных типов, необходимо несколько уточнить. Несимметричная раскраска поверхностей гексагексафлексагонов позволяет обнаружить любопытный факт: три из 15 допустимых шестиугольников имеют свои зеркально-симметричные пары. Перенумеровав внутренние углы каждого из допустимых шестиугольников по часовой стрелке цифрами от 1 до 6, мы обнаружим, что при складывании флексагонов три шестиугольника переходят в зеркально-симметричные шестиугольники, у которых углы перенумерованы теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Если принять во внимание эту асимметрию, то можно сказать, что шесть поверхностей гексагексафлексагона могут порождать 18 различных шестиугольников.